我来说说自己的看法。
首先，这是一个关公战秦琼的问题，不可能有定论。笔者之所以提出这样一个问题，实际上意在探讨宋朝可能有其不得不亡的原因。南宋虽然不尚武，但即使到了后期，也有孟珙这样的名将，战斗力并不弱。亡国的主要原因还是对手太强。
回过头来讨论问题。
铁木真麾下的蒙古骑兵在当时的世界是无敌的存在。
13世纪的蒙古汗国，整个国家实际上是按照战争的要求来组织的，是一台完美的战争机器。
蒙古骑兵行军速度非常快，机动性好，打起仗来更像是近代的游击战。偷袭、迂回包抄是他们的拿手好戏。有分析认为，13世纪蒙古骑兵的行军速度几乎可以赶上二战德军装甲部队的行军速度。主要原因在于蒙古人与一般军队不同，行军时从不带粮草辎重，吃的喝的除了随身携带的干粮和马奶，其他都是就地取材（必要的时候就吃敌人的尸体），这大大提高了行军速度。这样的队伍，如果是骑兵对战的话，中原王朝或许只有霍去病麾下的部队可以与之一战。
但是蒙古人可不是象匈奴或者突厥那样在边境打秋风的主。他们的大范围迂回和长途奔袭会将汉唐的都城长安纳入打击范围之内。能不能打下京城不好说，但是以蒙古人嗜杀成性的风格来看，汉唐帝国的京畿地区只怕要白骨皑皑了。所以它们即使不亡国只怕也会考虑迁都了。
有人说，汉武帝、唐太宗不会给对手成长的机会，这话对，但是不符合题意了。而且蒙古人完全有可能在他们领导帝国之前已经成长起来了。以汉朝为例，武帝之前，汉朝一直以和亲为主，并没有主动出击匈奴人，他们完全可能发展壮大。如果把匈奴换成蒙古人，等到汉武帝亲政时，对手可能已经是成吉思汗而不是蒙古小部落了。反过来讲，说汉武帝不会给铁木真成长的机会，也可以说铁木真不会给汉武帝成长的机会。汉朝还没等来武帝可能就已经被铁木真给灭了。
撇开铁木真无法成长为成吉思汗的说法。以巅峰的铁木真的蒙古汗国对武帝的汉朝(或者太宗的唐朝)，中原王朝的劣势明显。对手整个国家都在马背上，机动性不是中原王朝可以比拟的。打起仗来代价和成本天差地别。这是文明的农耕民族常常亡于野蛮的游牧民族的重要原因。亚洲如此，欧洲亦如此。蒙古人优秀的骑射加上成吉思汗卓越的军事指挥，战斗力之恐怖可想而知。在冷兵器时代恐怕很难有对手了。
一、破碎和统一对国家力量的影响
很简单，顾名思义，武帝时的汉朝，太宗时的唐朝是大一统的中原王朝，中国封建社会中央集权制度虽然调动资源能力有限，但是汉唐强盛时候调动全中国接近一千万平方公里的的力量，南宋、金、西夏、大理等等，各自只可以调集几十至两三百万平方公里的力量。
二、国家意志和国家精神
汉朝的精神是“犯我强汉者虽远必诛”，汉武帝时期全国上下憋一口气要跟匈奴决战到底；唐朝太宗时候太宗本身就是“一马当先冲入敌阵”的猛将、勇将，而南宋虽然也很有气节，但是北宋开国以来重文的风气，其实对国家精神损伤了好几百年
三、经济保障和动员能力
虽然南宋富裕，但是大量财富和劳动力集中在文官集团、商人集团、士绅地主手中，中央政府不一定有能力把它们全部调集起来。
四、武器和战术
蒙古人打遍天下的“曼古歹”战术，是利用蒙古马的高耐力和蒙古弓的射速反复机动拉开敌人阵型，后来元世祖忽必烈跨过金沙江灭亡大理和南宋主要靠内奸。
但是大一统局面下，蒙古人的战术面临严重问题：第一，无法统一蒙古草原的话哪里有那么多马？第二，面对天险战术有个毛线用（例如当时元军一直无法攻克襄阳和四川等地的防线，只能从长江上游绕道留下“元跨革囊”的故事。）
五、结语
汉唐强盛时，蒙古铁骑无法打败汉唐；蒙古铁骑灭亡南宋的历史窗口是国家长时间的分裂，这种分裂不仅是地域上的分裂，还是文官、武将、商人、地主、普通百姓、各民族之间的分裂。
因此，只有统一、团结的国家才能屹立于世界。
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